선형대수학 (Linear Algebra) 개념 정리 Part 1

 
본 포스트는 선형대수학의 전반적인 내용에 대해 간락히 정리한 내용이다. 대부분의 내용은 인공지능을 위한 선형대수 - 주재걸 교수님 (edwith) 영상을 참고하여 제작하였다.

선형대수학 (Linear Algebra) 개념 정리 Part 2 는 주로 행렬대수학과 관련된 내용을 다룬다.
확률 이론에 대한 내용을 알고싶으면 확률 이론(Probability Theory) 개념 정리 포스트를 참조하면 된다.

 

Chapter 1 - Linear Systems

Linear Equation

선형방정식(Linear Equation)은 변수 $x_{1}, \cdots, x_{n}$이 있을 때 다음과 같이 작성할 수 있는 방정식을 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n} = b
\end{aligned}
\end{equation}
이 때, $b$는 계수를 의미하고 $a_{1},\cdots,a_{n}$ 값들은 실수 또는 복소수의 미지수를 의미한다. 위 식은 다음과 같이 간결하게 작성할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{a}^{T}\mathbf{x} = b
\end{aligned}
\end{equation}
이 때, $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}$이고 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$이다.

 

Linear system

선형방정식(linear equation)의 집합을 선형시스템(linear system)이라고 한다. n개의 선형방정식 $\mathbf{a}_{1}\mathbf{x}=b_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n}\mathbf{x}=b_{n}$ 이 있는 경우 이를 다음과 같이 간결하게 선형시스템으로 표현할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{Ax} = \mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}

즉, $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 형태의 행렬과 벡터의 방정식을 선형시스템이라고 한다. 선형시스템은 다른 말로 비동차방정식이라고도 불린다. 동차방정식, 비동차방정식의 정의는 다음과 같다.

Homogeneous equation

동차방정식(homogeneous equation)은 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times m}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m\times1}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m\times 1}$ 일 때, $\mathbf{Ax} = 0$ 형태의 시스템을 말한다. 0이 아닌 해가 존재한다. 이와 반대로 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 형태의 방정식을 비동차방정식(non-homogeneous equation)이라고 한다. 비동차방정식은 해가 존재하지 않거나 여러 개 존재한다.

 

Over-determined system

Over-determined 시스템은 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많은 경우를 의미한다. $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 의 형태에서 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n\times1}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m\times 1}$ 이라고 했을 때 $m > n$ 인 경우를 의미한다. Over-determined 시스템의 경우 해가 존재하지 않으며 full column rank를 가진다. 

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 시스템의 해가 존재하지 않으므로 $\left \| \mathbf{Ax} - \mathbf{b} \right \|$을 최소화하는 근사해를 구하는 방법을 주로 사용한다.

 

Under-determined system

Under-determined 시스템의 경우 방정식의 개수보다 미지수의 개수가 많은 경우를 의미한다. 즉, over-determined 시스템과 반대로 $n > m$ 인 경우를 의미한다. Under-determined 시스템의 경우 무수히 많은 해가 존재하며 full row rank를 가진다. 

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ 시스템이 무수히 많은 해를 가지므로 $\left \| \mathbf{x} \right \|^{2}$ 가 최소가 되는 해를 구하는 방법을 주로 사용한다.

 

Solving Linear System

행렬 $\mathbf{A}$의 역행렬이 존재하는 경우 선형시스템은 역행렬을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{Ax} = \mathbf{b} \\
& \mathbf{A}^{-1}\mathbf{Ax} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\
& \mathbf{Ix} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\
& \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
그러나, 행렬 $\mathbf{A}$의 판별식 $\det{\mathbf{A}}=0$인 경우 역행렬이 존재하지 않게되고 위와 같이 문제를 풀 수 없다. 이런 경우 선형시스템은 해가 존재하지 않거나 무수히 많은 해가 존재한다.

Linear Combination

여러 벡터 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$이 있을 때 스칼라 값 $c_{1},\cdots, c_{n}$에 대하여
\begin{equation}
\begin{aligned}
c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
을 벡터 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$의 가중치 계수 $c_{1},\cdots, c_{n}$에 대한 선형결합 (Linear Combination) 이라고 한다. 이 때 가중치 계수 $c_{1},\cdots, c_{n}$는 0을 포함한 실수 값을 가진다.

Span

주어진 여러 벡터 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해 스팬(Span) $\{\mathbf{v}_{1},\cdots,\mathbf{v}_{n} \}$은 모든 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$에 대한 선형결합의 집합을 의미한다. 즉, Span$\{\mathbf{v}_{1},\cdots,\mathbf{v}_{n} \}$은 다음과 같이 쓸 수 있는 모든 벡터들의 집합이다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
이는 또한 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$에 의해 span된 $\mathbb{R}^{n}$ 공간 상의 subset이라고도 불린다.

From Matrix Equation to Vector Equation

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$와 같은 선형 시스템을 다음과 같이 열벡터 $\mathbf{a}_{i}$ 를 기준으로 펼쳐보면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
로 나타낼 수 있고 이를 다시 표현하면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{a}_{1}x_{1} + \mathbf{a}_{2}x_{2} + \cdots + \mathbf{a}_{n}x_{n} = \mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
와 같이 열벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있게 된다. 만약 $\mathbf{b}$가 Span $\{ \mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n} \}$에 포함되어 있다면 이들의 선형결합으로 표현할 수 있으므로 해가 존재한다. 따라서 $\mathbf{b} \in \text{Span}\{ \mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n} \}$일 때 해가 존재한다.

Several Perspectives about Matrix Multiplication

선형시스템 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$가 있을 때 이는 곧 $\mathbf{A}$의 열벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{Ax} = [ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n} ] \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \mathbf{a}_{1}x_{1} + \mathbf{a}_{2}x_{2} + \cdots + \mathbf{a}_{n}x_{n} = \mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
만약 선형시스템에 전치행렬을 적용하여 $\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}^{T} = \mathbf{b}^{T}$가 되면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} = \mathbf{a}_{1}x_{1} + \mathbf{a}_{2}x_{2} + \cdots + \mathbf{a}_{n}x_{n} = \mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
$\mathbf{b}^{T}$는 곧 $\mathbf{A}^{T}$의 행벡터(Row Vector)들의 선형결합으로 표현된다.
또한 두 벡터의 곱 $\mathbf{a}\mathbf{b}^{T} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} & \cdots & b_{n} \end{bmatrix}$의 경우 rank1 outer product 로 볼 수 있다. 즉, $[\mathbf{a} \ \ \mathbf{c}] \begin{bmatrix} \mathbf{b} \\ \mathbf{d} \end{bmatrix}$의 경우 $\mathbf{ab} + \mathbf{cd}$ 와 같이 벡터곱을 스칼라 곱과 같이 생각할 수 있다.

Linear Independence

벡터 집합 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$가 주어졌을 때, 이들 중 부분 벡터들의 집합 $\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{j-1} \}$이 선형결합을 통해 특정 벡터 $\mathbf{v}_{j},\ j = 1,\cdots,n$를 표현할 수 있는지 검사한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{v}_{j} \in \text{Span} \{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{j-1}\} \quad \text{for some } j = 1, \cdots, n?
\end{aligned}
\end{equation}

만약 $\mathbf{v}_{j}$가 선형결합으로 표현이 된다면 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$는 선형의존 (Linearly Dependent) 이다. 만약, $\mathbf{v}_{j}$가 표현되지 않는다면 $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$는 선형독립 (Linearly Independent) 이다.

만약 $x_{1}\mathbf{v}_{1} + x_{2}\mathbf{v}_{2}+\cdots+x_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$ 같은 동차(homogeneous) 선형방정식이 있다고 하면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
과 같은 자명해가 존재한다. 이 때, $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$가 선형독립이면 자명해 이외에 해는 존재하지 않는다. 하지만, $\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}$가 선형의존이면 선형시스템은 자명해 이외에 다른 해가 존재한다.
자명해 이외에 다른 해가 존재하는 선형의존(Linearly Dependent) 경우 대해서 생각해보면 예를 들어 $\mathbf{A}$ 행렬이 다음과 같이 5개의 열을 가진 행렬이라고 했을 때
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \mathbf{a}_{3} & \mathbf{a}_{4} & \mathbf{a}_{5} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
위 열벡터(Column Vector)들 중 최소한 두 개 이상의 벡터가 선형결합 되어야 동차방정식 $\mathbf{Ax} = \mathbf{0}$의 해를 만족할 수 있다. 예를 들어 $\mathbf{a}_{2}x_{2}$ 성분이 0이 아닌 경우 이를 다시 영벡터로 만들기 위해서는 다른 1,3,4,5 열벡터들의 선형결합이 $-\mathbf{a}_{2}x_{2}$의 값을 만들어야 한다. 이는 곧 $\mathbf{a}_{2}x_{2}$ 값을 다른 열벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있다는 말과 동치이므로 선형의존인 경우 어떤 하나의 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{a}_{j}x_{j} = -\mathbf{a}_{1}x_{1} - \cdots - \mathbf{a}_{j-1}x_{j-1} \\
& \mathbf{a}_{j} = -\frac{x_{1}}{x_{j}}\mathbf{a}_{1} - \cdots - \frac{x_{j-1}}{x_{j}}\mathbf{a}_{j-1} \in \text{Span}\{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{j-1} \}
\end{aligned}
\end{equation}

Linear Dependence

행렬 $\mathbf{A}$의 열벡터 $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$이 선형의존(Linearly Dependent)인 경우 해당 열벡터들은 Span의 차원을 늘리지 않는다.만약 $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{3\times3}$이고 $\mathbf{a}_{3} \in \text{Span}\{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2} \}$인 경우
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Span}\{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2} \} = \text{Span}\{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3} \}
\end{aligned}
\end{equation}
만약 $\mathbf{a}_{3} = d_{1}\mathbf{a}_{1} + d_{2}\mathbf{a}_{2}$와 같이 선형결합으로 표현이 가능한 경우, $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$는 다음과 같이 작성할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
c_{1}\mathbf{a}_{1} + c_{2}\mathbf{a}_{2} + c_{3}\mathbf{a}_{3} = (c_{1}+d_{1})\mathbf{a}_{1} + (c_{1}+d_{1})\mathbf{a}_{2}
\end{aligned}
\end{equation}

Span and Subspace

$\mathbb{R}^{n}$ 공간의 부분공간(Subspace) H는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분집합들의 선형결합에 대해 닫혀 있는 공간을 의미한다. 즉, 두 벡터 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \in H$일 때, 어떠한 스칼라 값 $c,d$에 대하여 $c\mathbf{u}_{1} + d \mathbf{u}_{2} \in H$일 때 H를 부분공간이라고 한다.
Span $\{ \mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n} \}$으로 형성된 공간은 항상 부분공간이다. 만약 $\mathbf{u}_{1} = x_{1}\mathbf{a}_{1} + \cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n}$이고 $\mathbf{u}_{2} = y_{1}\mathbf{a}_{1} + \cdots + y_{n}\mathbf{a}_{n}$일 때
\begin{equation}
\begin{aligned}
c \mathbf{u}_{1} + d \mathbf{u}_{2} & = c(x_{1}\mathbf{a}_{1} + \cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n}) + d(y_{1}\mathbf{a}_{1} + \cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n}) \\
& = (cx_{1} + dy_{1})\mathbf{a}_{1} + \cdots + (cx_{n} + dy_{n})\mathbf{a}_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
과 같이 선형결합으로 나타낼 수 있고 이는 임의의 값 $c,d$에 대해서 닫혀 있음을 의미한다. 따라서 부분공간은 항상 Span $\{ \mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n} \}$으로 표현된다.

Basis of a Subspace

부분공간 H의 기저(basis) 는 다음을 만족하는 벡터들의 집합을 의미한다.

• 부분공간 H를 모두 Span할 수 있어야 한다.
• 벡터들 간 선형독립이어야 한다.

3차원 공간 $\mathbb{R}^{3}$ 의 경우 기저벡터는 3개가 존재하고 $\mathbf{e}_{1} = [ 1 \ 0 \ 0 ]^{T}, \mathbf{e}_{2} = [ 0 \ 1 \ 0 ]^{T}, \mathbf{e}_{3} = [ 0 \ 0 \ 1 ]^{T}$일 때, 이를 표준기저벡터(Standard Basis Vector)라고 한다.

Dimension of Subspace

하나의 부분공간 H를 표현할 수 있는 기저는 유일하지 않다. 하지만 여러개의 기저를 통해서 표현할 수 있는 부분공간의 차원(Dimension)은 유일하다. 부분공간의 차원은 기저벡터의 개수와 동일하다.

Column Space of Matrix

행렬 $\mathbf{A}$의 열공간(Column Space)이란 $\mathbf{A}$의 열벡터로 인해 Span된 부분공간을 의미한다. 일반적으로 Col $\mathbf{A}$라고 표기한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Col} \mathbf{A} = \text{Span} \{ \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\0\\1 \end{bmatrix} \}
\end{aligned}
\end{equation}

Rank of Matrix

행렬 $\mathbf{A}$의 rank란 $\mathbf{A}$의 열벡터들의 차원을 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{rank} \mathbf{A} = \text{dim Col} \mathbf{A}
\end{aligned}
\end{equation}

Transformation

변환(Transformation), 함수(Function), 매핑(Mapping) $T$ 은 입력 $x$를 출력 $y$로 매핑해주는 것을 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
T: x \mapsto y
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 입력 $x$에 의해 매핑되는 출력 $y$는 유일하게 결정된다. 정의역(Domain) 이란 입력 $x$ 의 모든 가능한 집합을 의미한다. 공역(Co-Domain) 이란 출력 $y$의 모든 가능한 집합을 의미한다. Image 란 주어진 입력 $x$에 대해 매핑된 출력 $y$를 의미한다. 치역(Range) 란 Domain내에 있는 입력 $x$들에 의해 매핑된 모든 출력 $y$의 집합을 의미한다.

Linear Transformation

변환 T는 다음과 같은 경우에 선형변환(Linear Transformation)이라고 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& T(c \mathbf{u} + d \mathbf{v}) = cT(\mathbf{u}) + vT(\mathbf{v}) \\
& \text{for all } \mathbf{u,v} \ \ \text{in the domain of T and for all scalars c and d.}
\end{aligned}
\end{equation}

Transformations between Vectors

$T: \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m}$은 n차원의 벡터를 m차원의 벡터로 매핑하는 연산을 의미한다. 예를 들면
\begin{equation}
\begin{aligned}
& T: \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{2} \\
& \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1\\2\\3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbf{y} = T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 4\\5 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2}
\end{aligned}
\end{equation}

Matrix of Linear Transformation

변환 $T: \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$을 선형변환이라고 가정하면 $T$는 항상 행렬과 벡터의 곱으로 표현할 수 있다. 즉,
\begin{equation}
\begin{aligned}
T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax} \ \ \text{for all } \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}
\end{aligned}
\end{equation}
행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$인 경우 $\mathbf{A}$의 j번째 열 $\mathbf{a}_{j}$는 벡터 $T(\mathbf{e}_{j})$와 같다. 이 때 $\mathbf{e}_{j}$는 항등행렬 $\mathbf{I} \in \mathbb{R}^{n\times n}$의 j번째 열벡터이다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = [ T(\mathbf{e}_{1}) \ \cdots \ T(\mathbf{e}_{n})]
\end{aligned}
\end{equation}
이러한 행렬 $\mathbf{A}$를 선형변환 T의 표준행렬(Standard Matrix)이라고 부른다.

Onto and One-To-One

Onto는 전사함수(Surjective)라고도 불리며 공역이 치역과 같은 경우를 의미한다. 이는 Co-Domain의 모든 원소들이 사영된 것을 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Surjective: Co-Domain = Range}
\end{aligned}
\end{equation}
One-To-One은 일대일함수(Injective)라고도 불리며 정의역의 원소와 공역의 원소가 하나씩 대응되는 함수를 의미한다.

 

Chapter 2 - Least Squares

Least Squares

최소제곱법(Least Squares)는 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많은 Overdetermined 선형시스템에서 사용하는 방법 중 하나이다. Overdetermined 선형시스템 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$의 경우 일반적으로 해가 존재하지 않는다. 이런 경우 일반적으로 $\left\| \mathbf{Ax} - \mathbf{b} \right\|^{2}$가 최소가 되는 근사해를 구할 수 있다.
 

Inner Product

벡터 $\mathbf{u,v} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해 이를 각각 $n \times 1$의 행렬로 생각할 수 있다. 그렇다면 $\mathbf{u}^{T}$는 $1 \times n$의 행렬로 볼 수 있고 행렬곱 $\mathbf{u}^{T}\mathbf{v}$는 $1 \times1$의 행렬이 된다. 그리고 $1\times1$ 행렬은 스칼라값으로 표시할 수 있다.
이 때, $\mathbf{u}^{T}\mathbf{v}$에 의해 계산된 값을 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$의 내적(Inner Product, Dot Product)라고 한다. 이는 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$로 표기할 수 있다.

Properties of Inner Product

벡터 $\mathbf{u,v,w} \in \mathbb{R}^{n}$이고 $c$를 스칼라 값이라고 할 때 내적은 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
• $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w} = \mathbf{u}\cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$
• $(c \mathbf{u})\cdot \mathbf{v} = c(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot(c \mathbf{v})$
• $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u} \ge 0 $ and $ \mathbf{u}\cdot \mathbf{u} = 0 $ iff $\mathbf{u}=0$

위에서 2,3번 성질을 조합하면 다음과 같은 법칙을 만들 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
(c_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + c_{n}\mathbf{u}_{n}) \cdot \mathbf{w} = c_{1}(\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{w}) + \cdots + c_{n}(\mathbf{u}_{n} \cdot \mathbf{w})
\end{aligned}
\end{equation}
위를 통해 내적이라는 연산은 선형변환이라는 것을 알 수 있다.

Vector Norm

벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해 벡터의 놈(Norm)은 0이 아닌 $\left\| \mathbf{v} \right\| = \sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$로 표기하며 벡터의 길이를 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\| \mathbf{v} \right\| = \sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}} = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \cdots + v_{n}^{2}}
\end{aligned}
\end{equation}
2차원 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{2}$가 있을 때 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\b \end{bmatrix}$라고 하면 $\left\| v \right\|$는 원점으로부터 $\mathbf{v}$ 좌표까지의 거리가 된다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\| \mathbf{v} \right\| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
\end{aligned}
\end{equation}
모든 스칼라 값 $c$에 대해 $c\mathbf{v}$의 길이는 $\mathbf{v}$의 길이를 $| c |$ 배 한 것을 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\| c \mathbf{v} \right\| = |c| \left\| \mathbf{v} \right\|
\end{aligned}
\end{equation}

Unit Vector

길이가 1인 벡터를 단위벡터(Unit Vector)라고 한다. 벡터의 길이를 1로 맞추는 작업을 정규화(Normalization)라고 하는데 주어진 벡터 $\mathbf{v}$가 있을 때 단위벡터 $\mathbf{u} = \frac{1}{\| \mathbf{v} \|}\mathbf{v}$가 된다. $\mathbf{u}$ 벡터는 $\mathbf{v}$ 벡터와 방향은 같지만 크기가 1인 벡터이다.

Distance between Vectors in $\mathbb{R}^{n}$

두 벡터 $\mathbf{u,v} \in \mathbb{R}^{n}$이 있을 때 두 벡터의 거리는 dist( $\mathbf{u,v}$)로 나타내며 이는 $\mathbf{u-v}$ 벡터의 길이를 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
dist( \mathbf{u,v}) = \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|
\end{aligned}
\end{equation}

Inner Product and Angle between Vectors

두 벡터 $\mathbf{u,v}$의 내적은 다음과 같이 놈과 각도를 통해 표현할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \| \mathbf{u} \| \| \mathbf{v} \| \cos \theta
\end{aligned}
\end{equation}

Orthogonal Vectors

두 벡터 $\mathbf{u,v} \in \mathbb{R}^{n}$가 있을 때 둘이 수직이려면 두 벡터의 내적이 0이어야 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos\theta= 0
\end{aligned}
\end{equation}
0이 아닌 두 벡터 $\mathbf{u,v}$의 내적이 0이려면 $\cos\theta$ 값이 0이어야 하고 $\theta=90$ degree 일 때 $\cos\theta$ 값은 0이 된다.

Least Square Problem

$\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}, \mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n}, m \ll n$과 같이 주어진 Overdetermined 시스템 $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$가 있을 때 에러의 제곱합 $\|\mathbf{b}-\mathbf{Ax}\|$을 최소화하는 최적의 모델 파라미터를 찾는 것이 목적이 된다. 이 때 최소제곱법의 근사해 $\hat{\mathbf{x}}$는 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{x}} = \arg\min_{\mathbf{x}} \| \mathbf{b}-\mathbf{Ax} \|
\end{aligned}
\end{equation}

최소제곱법의 중요한 포인트 중 하나는 어떤 $\mathbf{x}$ 파라미터를 선정하던지 벡터 $\mathbf{Ax}$는 반드시 Col $\mathbf{A}$ 안에 위치한다는 것이다. 따라서 최소제곱법은 Col $\mathbf{A}$와 $\mathbf{b}$의 거리가 최소가 되는 $\mathbf{x}$를 찾는 문제가 된다.
$\hat{\mathbf{b}} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}$를 만족하는 근사해 $\hat{\mathbf{x}}$는 Col $\mathbf{A}$에서 $\mathbf{b}$ 벡터와 가장 가까운 모든 포인트들의 집합을 의미한다. 따라서 $\mathbf{b}$는 다른 어떤 $\mathbf{Ax}$보다도 $\hat{\mathbf{b}}$와 가장 가깝게 된다. 기하학적으로 이를 만족하기 위해서는 벡터 $\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}$가 Col $\mathbf{A}$와 수직이어야 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{b} - \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} \perp (x_{1}\mathbf{a}_{1} + x_{2}\mathbf{a}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{a}_{n}) \ \ \text{for any vector } \mathbf{x}.
\end{aligned}
\end{equation}
이는 곧 다음과 동일하다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& (\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \perp \mathbf{a}_{1} \rightarrow \mathbf{a}_{1}^{T}(\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \\
& (\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \perp \mathbf{a}_{2} \rightarrow \mathbf{a}_{2}^{T}(\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \\
& (\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \perp \mathbf{a}_{3} \rightarrow \mathbf{a}_{3}^{T}(\mathbf{b}-\mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) \\
& \therefore \mathbf{A}^{T}(\mathbf{b} - \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}}) = 0
\end{aligned}
\end{equation}

Normal Equation

$\mathbf{Ax} \simeq \mathbf{b}$를 만족하는 최소제곱법의 근사해는 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
위 식을 정규방정식(Normal Equation) 이라고 부른다. 이는 $\mathbf{C} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}, \mathbf{d} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n}$일 때 $\mathbf{Cx} = \mathbf{d}$와 같은 선형시스템으로 생각할 수 있다. 이 선형시스템의 해를 구하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}

Another Derivation of Normal Equation

근사해 $\hat{\mathbf{x}} = \arg\min_{\mathbf{x}}\| \mathbf{b} - \mathbf{Ax} \| = \arg\min_{\mathbf{x}} \| \mathbf{b} - \mathbf{Ax} \|^{2}$와 같이 제곱을 최소화하는 문제로 표현해도 동일한 문제가 된다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\arg\min_{\mathbf{x}}(\mathbf{b}-\mathbf{Ax})^{T}(\mathbf{b}-\mathbf{Ax}) = \mathbf{b}^{T}\mathbf{b} - \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b} - \mathbf{b}^{T}\mathbf{Ax} + \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{Ax}
\end{aligned}
\end{equation}
위 식을 $\mathbf{x}$에 대해서 미분하고 정리하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
-\mathbf{A}^{T}\mathbf{b} - \mathbf{A}^{T}\mathbf{b} + 2 \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} = 0 \Leftrightarrow \mathbf{A}^{T}\mathbf{Ax} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$가 역행렬이 존재한다면 다음과 같이 해를 구할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{x} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}

What If $\mathbf{C} =\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$ is NOT Invertible?

행렬 $\mathbf{C} =\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$의 역행렬이 존재하지 않는 경우 시스템은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가지고 있다. 하지만 정규방정식은 항상 해를 가지고 있으므로 해가 없는 상황은 존재하지 않고 실제로는 무수히 많은 해를 가지고 있다. $\mathbf{C}$가 역행렬을 구할 수 없는 경우는 오직 Col $\mathbf{A}$가 선형의존일 경우에 발생한다. 하지만, 일반적으로 $\mathbf{C}$는 대부분의 경우 역행렬이 존재한다.

Orthogonal Projection Perspective

행렬 $\mathbf{C} =\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$가 있을 때 $\mathbf{b}$ 점에서 Col $\mathbf{A}$ 공간으로 프로젝션하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{b}} = f(\mathbf{b}) = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}

Orthogonal and Orthonormal Sets

벡터들의 집합 $\mathbf{u}_{1},\cdots,\mathbf{u}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$가 있을 때 모든 벡터 쌍들이 $\mathbf{u}_{i} \cdot \mathbf{u}_{j} = 0, \ \ i \neq j$를 만족하면 해당 집합은 직교(Orhogonal) 하다고 말한다.
벡터들의 집합 $\mathbf{u}_{1},\cdots,\mathbf{u}_{n} \in \mathbb{R}^{n}$가 있을 때 모든 직교 집합들이 단위벡터인 경우 정규직교(Orthonormal) 하다고 말한다.
직교벡터와 정규직교벡터의 집합은 항상 선형독립이다.

Orthogonal and Orthonormal Basis

기저벡터 $\mathbf{u}_{1},\cdots,\mathbf{u}_{n}$이 p차원의 부분공간 $W \in \mathbb{R}^{n}$에 있다고 할때 Gram-Schmidt 프로세스와 QR decomposition을 사용하면 직교기저벡터를 만들 수 있다. 부분공간 $W$에 대해 직교기저 벡터 $\mathbf{u}_{1},\cdots\,\mathbf{u}_{n}$이 주어져 있다고 했을 때 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$을 부분공간 $W$ 위로 프로젝션시킨다.

Orthogonal Projection $\hat{\mathbf{y}}$ of $\mathbf{y}$ onto Line

1차원 부분공간 $L = \text{Span} \{ \mathbf{u} \}$ 위로 $\mathbf{y}$를 프로젝션하여 $\hat{\mathbf{y}}$를 구하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L} \mathbf{y} = \frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}} \mathbf{u}
\end{aligned}
\end{equation}
가 된다. 만약 $\mathbf{u}$가 단위벡터이면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L} \mathbf{y} = (\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}) \mathbf{u}
\end{aligned}
\end{equation}

Orthogonal Projection $\hat{\mathbf{y}}$ of $\mathbf{y}$ onto Plane

2차원 부분공간 $W = \text{Span} \{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \}$ 위로 $\mathbf{y}$를 프로젝션하여 $\hat{\mathbf{y}}$를 구하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L}\mathbf{y} = \frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}}\mathbf{u}_{1} + \frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{2}}{\mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}}\mathbf{u}_{2}
\end{aligned}
\end{equation}
만약 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}$가 단위벡터이면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L} \mathbf{y} = (\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1})\mathbf{u}_{1} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}) \mathbf{u}_{2}
\end{aligned}
\end{equation}
프로젝션은 각각 직교기저벡터에 독립적으로 적용된다.

Orthogonal Projection when $\mathbf{y} \in W$ 

만약 2차원 부분공간 $W = \text{Span} \{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \}$에 $\mathbf{y}$가 포함되어 있다고 하면 프로젝션된 벡터 $\hat{\mathbf{y}}$는 다음과 같이 구할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L}\mathbf{y} = \mathbf{y}= \frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}}\mathbf{u}_{1} + \frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}_{2}}{\mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}}\mathbf{u}_{2}
\end{aligned}
\end{equation}
만약 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}$가 단위벡터이면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{y}} = \text{proj}_{L} \mathbf{y} = \mathbf{y} = (\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1})\mathbf{u}_{1} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}) \mathbf{u}_{2}
\end{aligned}
\end{equation}
해는 $\mathbf{y}$가 부분공간 $W$에 포함되어 있지 않은 경우와 동일하다.

Transformation: Orthogonal Projection

부분공간 $W$의 정규직교기저벡터 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}$가 있고 $\mathbf{b}$를 부분공간 $W$에 프로젝션시킨 점 $\hat{\mathbf{b}}$의 변환을 생각해보면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{b}} & = f(\mathbf{b}) = (\mathbf{b}\cdot \mathbf{u}_{1})\mathbf{u}_{1} + (\mathbf{b}\cdot \mathbf{u}_{2})\mathbf{u}_{2} \\
& = (\mathbf{u}_{1}^{T} \mathbf{b})\mathbf{u}_{1} + (\mathbf{u}_{2}^{T} \mathbf{b})\mathbf{u}_{2} \\
& = \mathbf{u}_{1}(\mathbf{u}_{1}^{T}\mathbf{b}) + \mathbf{u}_{2}(\mathbf{u}_{2}^{T}\mathbf{b}) \\
& = (\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}^{T})\mathbf{b} + (\mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}^{T})\mathbf{b} \\
& = (\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}^{T} + \mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}^{T}) \mathbf{b} \\
& = [ \mathbf{u}_{1} \ \mathbf{u}_{2} ] \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}^{T} \\ \mathbf{u}_{2}^{T} \end{bmatrix}\mathbf{b} = \mathbf{UU}^{T} \mathbf{b} \Rightarrow \ \text{Linear Transformation!}
\end{aligned}
\end{equation}

 

Orthogonal Projection Perspective

정규직교인 열벡터를 가지는 행렬 $\mathbf{A} = \mathbf{U} = [\mathbf{u}_{1} \ \mathbf{u}_{2}]$가 있을 때 $\mathbf{b}$ 벡터를 Col $\mathbf{A}$ 공간으로 정사영시키는 경우
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{b}} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b} = f(\mathbf{b})
\end{aligned}
\end{equation}
행렬 $\mathbf{C} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$는 $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}^{T} \\ \mathbf{u}_{2}^{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} \ \mathbf{u}_{2} \end{bmatrix} = \mathbf{I}$와 같은 성질을 지니게 되고 따라서 다음과 같은 공식이 성립한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{b}} = \mathbf{A}\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b} = \mathbf{A}(\mathbf{I})^{-1}\mathbf{A}^{T}\mathbf{b} = \mathbf{AA}^{T}\mathbf{b} = \mathbf{UU}^{T}\mathbf{b}
\end{aligned}
\end{equation}

Gram-Schmidt Orthogonalization

벡터 $\mathbf{x}_{1} = \begin{bmatrix} 3\\6\\0 \end{bmatrix}, \mathbf{x}_{2} = \begin{bmatrix} 1\\2\\2 \end{bmatrix}$로 인해 Span되는 부분공간 $W{x}_{1} = \text{Span} [ \mathbf{x}_{1}, \ \mathbf{x}_{2} ]$가 있을 때 두 벡터의 내적 $\mathbf{x}_{1}\cdot \mathbf{x}_{2} = 15 \neq 0$이므로 두 벡터는 수직이 아니다.
이 때 벡터 $\mathbf{v}_{1} = \mathbf{x}_{1}$이라고 하고 $\mathbf{v}_{2}$를 $\mathbf{x}_{1}$에 수직인 $\mathbf{x}_{2}$의 성분이라고 했을 때
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{v}_{2} = \mathbf{x}_{2} - \frac{\mathbf{x}_{2}\cdot \mathbf{x}_{1}}{\mathbf{x}_{1}\cdot \mathbf{x}_{1}} \mathbf{x}_{1} = \begin{bmatrix} 1\\2\\2 \end{bmatrix} - \frac{15}{45} \begin{bmatrix} 3\\6\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\2 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
가 된다. 이 때 벡터 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$는 부분공간 $W$의 직교기저벡터가 된다.

Chapter 3 - Eigenvectors and Eigenvalues

Eigenvectors and Eigenvalues

정방행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$에 대한 고유벡터(eigenvector)는 $\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$를 만족하는 0이 아닌 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$을 말한다. 이 때 $\lambda$는 행렬 $\mathbf{A}$의 고유값(eigenvalue)이라고 한다.
$\mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}$는 다음과 같이 다시 나타낼 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = 0
\end{aligned}
\end{equation}
이 때, 위 시스템이 $\mathbf{x}$가 0이 아닌 비자명해를 가지고 있는 경우에만 $\lambda$ 값이 행렬 $\mathbf{A}$에 대한 고유값이 된다. 위와 같은 동차 선형시스템이 비자명해를 가지기 위해서는 $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$가 선형의존(Linearly Dependent)해야 무수히 많은 해를 가진다.

Null Space

행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 동차 선형시스템(Homogeneous Linear System) $\mathbf{Ax} = 0$의 해 집합을 영공간(Null Space)라고 한다. Nul $\mathbf{A}$로 표기한다.
$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1}^{T} \\ \mathbf{a}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{m}^{T} \end{bmatrix}$일 때 벡터 $\mathbf{x}$는 다음을 만족해야 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{a}_{1}^{T}\mathbf{x} = \mathbf{a}_{2}^{T}\mathbf{x} = \cdots = \mathbf{a}_{m}^{T}\mathbf{x} = 0
\end{aligned}
\end{equation}
즉, $\mathbf{x}$는 모든 $\mathbf{A}$의 행벡터(Row Vector)과 직교해야 한다.

Orthogonal Complement

벡터 $\mathbf{z}$가 부분공간 $W \in \mathbb{R}^{n}$의 모든 벡터와 직교하면 $\mathbf{z}$는 부분공간 $W$와 직교한다고 말할 수 있다. 부분공간 $W$와 직교하는 모든 벡터 $\mathbf{z}$의 집합을 직교여공간(Orthogonal Complement)라고 부르며 $W^{\perp}$로 표시한다.
부분공간 $W$의 직교여공간 $W^{\perp}$에 위치한 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$는 부분공간 $W$를 Span하는 모든 벡터들과 직교한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& W^{\perp} \ \ \text{is a subspace of } \ \mathbb{R}^{n}. \\
& \text{Nul} \mathbf{A} = (\text{Row} \mathbf{A})^{\perp} \\
& \text{Nul} \mathbf{A}^{T} = (\text{Col} \mathbf{A})^{\perp} \\
\end{aligned}
\end{equation}

Characteristic Equation

방정식 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = 0$이 비자명해를 갖기 위해서는 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$ 행렬이 선형의존이어야 하고 이는 곧 역행렬이 존재하지 않아야 하는 것과 동치(Equivalent)이다. 만약 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})$이 역행렬이 존재한다면 $\mathbf{x}$는 자명해 이외에는 갖지 못한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^{-1}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})\mathbf{x} = (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})^{-1} 0 \\
& \mathbf{x} = 0
\end{aligned}
\end{equation}
따라서 행렬 $\mathbf{A}$에 대하여 고유값과 고유벡터가 존재하기 위해서는 다음의 방정식이 항상 성립해야 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0
\end{aligned}
\end{equation}
위 방정식을 행렬 $\mathbf{A}$의 특성방정식(Characteristic Equation)이라고 부른다.

Eigenspace

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{x})\mathbf{x}=0$에서 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{x})$의 영공간(Null Space)를 고유값 $\lambda$에 대한 고유공간(Eigenspace)라고 한다. $\lambda$에 대한 고유공간의 차원이 1 이상인 경우, 고유공간 내에 있는 모든 벡터들에 대하여 다음이 성립한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}
\end{aligned}
\end{equation}

Diagonalization

정방행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$이 주어졌고 $\mathbf{V}\in \mathbb{R}^{n\times n}$이고 $\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{n\times n}$일 때
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{D} = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{AV}
\end{aligned}
\end{equation}
위와 같은 공식이 성립한다면 이를 정방행렬 $\mathbf{A}$의 대각화(Diagonalization)라고 한다. 대각화는 모든 경우에 대해서 항상 가능한 것은 아니다. 행렬 $\mathbf{A}$가 대각화되기 위해서는 역행렬이 존재하는 행렬 $\mathbf{V}$가 존재해야 한다. 행렬 $\mathbf{V}$가 역행렬이 존재하기 위해서는 $\mathbf{V}$는 행렬 $\mathbf{A}$와 같은 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 크기의 정방행렬이어야 하고 n개의 선형독립인 열벡터를 가지고 있어야 한다. 이 때, $\mathbf{V}$의 각 열은 행렬 $\mathbf{A}$의 고유벡터가 된다. 만약 행렬 $\mathbf{V}$가 존재하는 경우 행렬 $\mathbf{A}$는 대각화 가능(Diangonalizable)하다 고 한다.

Finding $\mathbf{V}$ and $\mathbf{D}$ 

대각화 공식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{D} = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{AV} \Rightarrow \mathbf{VD} = \mathbf{AV}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때, $\mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{bmatrix}$이고 $\mathbf{D} = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{bmatrix}$이라고 하면
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{AV} = \mathbf{A} \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{Av}_{1} & \mathbf{Av}_{2} & \cdots & \mathbf{Av}_{n} \end{bmatrix} \\
& \mathbf{VD} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{bmatrix} \\
& \quad \quad = \begin{bmatrix} \lambda_{1}\mathbf{v}_{1} & \lambda_{2}\mathbf{v}_{2} & \cdots & \lambda_{n}\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} \\
& \mathbf{AV} = \mathbf{VD} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \mathbf{Av}_{1} & \mathbf{Av}_{2} & \cdots & \mathbf{Av}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{1}\mathbf{v}_{1} & \lambda_{2}\mathbf{v}_{2} & \cdots & \lambda_{n}\mathbf{v}_{n} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
위 공식과 같이
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{Av}_{1} = \lambda_{1}\mathbf{v}_{1}, \mathbf{Av}_{2} = \lambda_{2}\mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{Av}_{n} = \lambda_{n}\mathbf{v}_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
각각의 열이 모두 동일해야 한다. 즉, 벡터 $\mathbf{v}_{i}$는 행렬 $\mathbf{A}$에 대한 고유벡터가 되어야 하고 스칼라 $\lambda_{i}$는 행렬 $\mathbf{A}$에 대한 고유값이 되어야 한다. 이에 따라 대각행렬 $\mathbf{D}$는 고유값들을 대각성분으로 포함하고 있는 행렬이 된다. 결론적으로 정방행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$가 대각화 가능한가 안한가에 대한 질문은 n개의 고유벡터가 존재하는가 안하는가에 대한 질문과 동치이다.

Eigendecomposition

정방행렬 $\mathbf{A}$가 대각화 가능한 경우 $\mathbf{D} = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{AV}$ 공식이 성립한다. 이 공식을 다시 작성하면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = \mathbf{VDV}^{-1}
\end{aligned}
\end{equation}
이를 행렬 $\mathbf{A}$에 대한 고유값 분해(Eigendecomposition) 라고 한다. 행렬 $\mathbf{A}$가 대각화 가능하다는 의미는 행렬 $\mathbf{A}$가 고유값 분해 가능하다는 말과 동치이다.

Linear Transformation via Eigendecomposition

정방행렬 $\mathbf{A}$가 대각화 가능한 경우 $\mathbf{A} = \mathbf{VDV}^{-1}$과 같이 고유값 분해가 가능하다. 이 때 선형 변환 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax}$을 생각해보면 다음과 같이 표현할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax} = \mathbf{VDV}^{-1}\mathbf{x} = \mathbf{V}(\mathbf{D}(\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}))
\end{aligned}
\end{equation}

Change of Basis

예를 들어 $\mathbf{Av}_{1} = -1 \mathbf{v}_{1}, \mathbf{Av}_{2} = 2 \mathbf{v}_{2}$가 성립한다고 가정하고 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{Ax} = \mathbf{VDV}^{-1}\mathbf{x} = \mathbf{V}(\mathbf{D}(\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}))$에서 $\mathbf{y} = \mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}$라고 가정하면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{Vy} = \mathbf{x}
\end{aligned}
\end{equation}
의 관계가 성립한다. 이 때, 벡터 $\mathbf{y}$는 벡터 $\mathbf{x}$의 고유벡터 $\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \}$에 대한 새로운 좌표를 의미한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 4\\3 \end{bmatrix} = 4 \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = \mathbf{Vy} = [ \mathbf{v}_{1} \ \ \mathbf{v}_{2} ] \begin{bmatrix} y_{1} \\y_{2} \end{bmatrix} = 2 \mathbf{v}_{1} + 1 \mathbf{v}_{2} \Rightarrow \mathbf{y} = \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}

Element-wise Scaling

위 과정을 통해 $\mathbf{y}$ 값을 구하고 나면 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{V}(\mathbf{D}(\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}))$는 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{V}(\mathbf{Dy})$로 표현할 수 있다. 이 때 $\mathbf{z} = \mathbf{Dy}$라고 하면 벡터 $\mathbf{z}$는 단순히 벡터 $\mathbf{y}$를 행렬의 대각 원소의 크기만큼 스케일링한 벡터가 된다.

Back to Original Basis

위 과정까지 진행했으면 $T(\mathbf{x}) = \mathbf{V}(\mathbf{Dy}) = \mathbf{Vz}$와 같이 나타낼 수 있고 이 때 벡터 $\mathbf{z}$는 여전히 새로운 기저벡터 $\{ \mathbf{v}_{1}^{'} \ \ \mathbf{v}_{2}^{'} \}$를 기반으로 하면 좌표가 된다. $\mathbf{Vz}$ 연산은 벡터 $\mathbf{z}$를 다시 원래 기저벡터의 좌표로 변환하는 역할을 한다. 벡터 $\mathbf{Vz}$는 기존의 기저벡터 $\{ \mathbf{v}_{1} \ \ \mathbf{v}_{2} \}$의 선형결합이 된다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{Vz} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_{1} \\ z_{2} \end{bmatrix} = \mathbf{v}_{1}z_{1} + \mathbf{v}_{2}z_{2}
\end{aligned}
\end{equation}
지금까지의 과정을 고유값 분해를 통한 선형 변환 이라고 한다.

Linear Transformation via $\mathbf{A}^{k}$ 

여러번의 변환이 중첩된 $\mathbf{A} \times \mathbf{A} \times \cdots \times \mathbf{Ax} = \mathbf{A}^{k}\mathbf{x}$를 생각해보자. 이 때, 행렬 $\mathbf{A}$가 대각화 가능하다면 $\mathbf{A}$를 고유값 분해할 수 있고 이 때, $\mathbf{A}^{k}$는 다음과 같이 분해할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{k} = (\mathbf{VDV}^{-1}) (\mathbf{VDV}^{-1}) \cdots (\mathbf{VDV}^{-1}) = \mathbf{VD}^{k}\mathbf{V}^{-1}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 $\mathbf{D}^{k}$는 다음과 같이 표현된다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{D}^{k} = \begin{bmatrix} \lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2}^{k} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}^{k} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}

Geometric Multiplicity and Algebraic Multiplicity

정방행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$이 있을 때 $\mathbf{A}$가 대각화 가능한지 안한지 판단을 해야하는 경우 일반적으로 판별식을 사용하여 판단한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})= 0
\end{aligned}
\end{equation}
예를 들어 $n=5$인 정방행렬 $\mathbf{A}$가 있을 때, $\det (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I})$는 5차 다항식이 나오게 된다. 5차 다항식은 일반적으로 5개의 해를 가지고 있지만 실수만 고려하는 경우 5개의 해가 계산되지 않을 수 있다. 즉, 실근이 5개가 나오지 않는 경우 $n=5$개의 선형독립인 고유벡터가 나오지 않으므로 대각화가 불가능하다.
만약 실근 중 중근이 포함되는 경우, 예를 들어 $(\lambda-2)^{2}(\lambda -3) = 0$과 같이 $\lambda = 2$가 중근인 경우, $\lambda=2$로 인해 생성되는 고유공간(Eigenspace)의 차원이 최대 $\lambda=2$가 가지는 중근의 개수까지 가질 수 있다. 중근이 아닌 일반 실근의 경우 최대 1차원의 고유공간을 가질 수 있다. 즉, 중근이 포함된 경우 고유공간의 차원이 최대 $n=5$까지 생성될 수 있는데 $n=5$를 만족하지 못하는 경우에는 대각화가 불가능하다.
이와 같이 대수적으로 판별식을 인수분해했을 때, 중근이 생기는 경우 중근의 대수 중복도(Algebraic Multiplicity) 와 이로 인해 Span되는 고유공간의 기하 중복도(Geometric Multiplicity) 가 일치해야 $n$개의 독립적인 고유벡터가 생성될 수 있고 행렬 $\mathbf{A}$의 대각화가 가능하다.

 

Chapter 4 - Singular Value Decomposition

Singular Value Decomposition

행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$이 주어졌을 때 특이값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = \mathbf{U} \Sigma \mathbf{V}^{T}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때, $\mathbf{U} \in \mathbb{R}^{m \times m}, \mathbf{V} \in \mathbb{R}^{n\times n}$인 행렬이며 이들은 각 열이 Col $\mathbf{A}$와 Row $\mathbf{A}$에 의 정규직교기저벡터(Orthonormal Basis)로 구성되어 있다. $\Sigma \in \mathbb{R}^{m\times n}$은 대각행렬이며 대각 성분들이 $\sigma_{1} \ge \sigma_{2} \ge \cdots \ge \sigma_{\min(m,n)}$ 특이값이며 큰 값부터 내림차순으로 정렬된 행렬이다.

SVD as Sum of Outer Products

행렬 $\mathbf{A}$는 다음과 같이 외적(Outer Products)의 합으로 표현할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = \mathbf{U}\Sigma \mathbf{V}^{T} = \sum^{n}_{i=1} \sigma_{i} \mathbf{u}_{i} \mathbf{v}_{i}^{T}, \quad \text{where } \ \sigma_{1} \ge \sigma_{2} \ge \cdots \ge \sigma_{n}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 위 식을 다시 행렬로 합성하면 $\mathbf{U} \in \mathbb{R}^{m\times m} \rightarrow \mathbf{U}^{'} \in \mathbb{R}^{m\times n}$ 그리고 $\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbf{D}^{'} \in \mathbb{R}^{n\times n}$과 같이 행렬 $\mathbf{V}^{T}$의 차원에 맞게 다시 합성할 수 있는데 이를 Reduced Form of SVD 이라고 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{A} = \mathbf{U}^{'}\mathbf{D}^{'}\mathbf{V}^{T}
\end{aligned}
\end{equation}

Another Perspective of SVD

행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$에 대해 Gram-Schmidt Orthogonalization을 사용하면 Col $\mathbf{A}$에 대한 정규직교기저벡터 $\mathbf{u}_{1},\cdots,\mathbf{u}_{n}$와 Row $\mathbf{A}$에 대한 정규직교기저벡터 $\mathbf{v}_{1},\cdots,\mathbf{v}_{n}$을 구할 수 있다. 하지만 이렇게 계산한 정규직교기저벡터 $\mathbf{u}_{i}, \mathbf{v}_{i}$는 유일하지 않다.
Reduced Form of SVD를 사용하면 행렬 $\mathbf{U} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m\times n}$과 $\mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n}$ 그리고 $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 일 때
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{AV} = \mathbf{A} \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{Av}_{1} & \mathbf{Av}_{2} & \cdots & \mathbf{Av}_{n} \end{bmatrix} \\
& \mathbf{U}\Sigma = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \sigma_{n} \end{bmatrix} \\
& \quad \quad \begin{bmatrix} \sigma_{1} \mathbf{u}_{1} & \sigma_{2} \mathbf{u}_{2} & \cdots & \sigma_{n}\mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \\
& \mathbf{AV} = \mathbf{U}\Sigma \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \mathbf{Av}_{1} & \mathbf{Av}_{2} & \cdots & \mathbf{Av}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{1} \mathbf{u}_{1} & \sigma_{2} \mathbf{u}_{2} & \cdots & \sigma_{n}\mathbf{u}_{n} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
위 식을 간결하게 나타내면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{AV} = \mathbf{U}\Sigma \Leftrightarrow \mathbf{A} = \mathbf{U}\Sigma \mathbf{V}^{T}
\end{aligned}
\end{equation}

Computing SVD

행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$에 대하여 $\mathbf{AA}^{T}$와 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$는 다음과 같이 고유값분해할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{AA}^{T} = \mathbf{U}\Sigma \mathbf{V}^{T} \mathbf{V} \Sigma^{T} \mathbf{U}^{T} = \mathbf{U}\Sigma\Sigma^{T}\mathbf{U}^{T} = \mathbf{U}\Sigma^{2}\mathbf{U}^{T} \\
& \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} = \mathbf{V}\Sigma^{T}\mathbf{U}^{T} \mathbf{U}\Sigma \mathbf{V}^{T} = \mathbf{V}\Sigma^{T}\Sigma \mathbf{U}^{T} = \mathbf{V}\Sigma^{2}\mathbf{V}^{T}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 계산되는 행렬 $\mathbf{U}, \mathbf{V}$은 직교하는 고유벡터를 각 열의 성분으로 하는 행렬이며 대각행렬 $\Sigma^{2}$의 각 성분은 항상 0보다 큰 양수의 값을 가진다. 그리고 $\mathbf{AA}^{T}$와 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$를 통해 계산되는 $\Sigma^{2}$의 값은 동일하다.

Diagonalization of Symmetric Matrices

일반적으로 정방행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$이 $n$개의 선형독립인 고유벡터를 가지고 있을 경우 대각화 가능하다. 그리고 대칭행렬 $\mathbf{S}\in\mathbb{R}^{n\times n}, \mathbf{S}^{T} = \mathbf{S}$는 항상 대각화 가능하다. 추가적으로 대칭행렬 $\mathbf{S}$의 고유벡터는 항상 서로에게 직교하므로 직교대각화(Orthogonally Diagonalizable)가 가능하다.

Spectral Theorem of Symmetric Matrices

$\mathbf{S}^{T} = \mathbf{S}$를 만족하는 대칭행렬 $\mathbf{S}$가 주어졌을 때 $\mathbf{S}$는 $n$개의 중근을 포함한 실수의 고유값이 존재한다. 또한, 고유공간의 차원은 기하 중복도(Algebraic Multiplicity)와 기하 중복도(Geometric Multiplicity)와 같아야 한다. 서로 다른 $\lambda$값 들에 대한 고유공간들은 서로 직교한다. 결론적으로 대칭행렬 $\mathbf{S}$은 직교대각화가 가능하다.

Spectral Decomposition

대칭행렬 $\mathbf{S}$의 고유값 분해는 Spectral Decomposition 이라고 불린다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{S} & = \mathbf{UDU}^{-1} = \mathbf{UDU}^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}^{T} \\ \mathbf{u}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{u}_{n}^{T} \end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix} \lambda_{1}\mathbf{u}_{1} & \lambda_{2}\mathbf{u}_{2} & \cdots & \lambda_{n}\mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}^{T} \\ \mathbf{u}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{u}_{n}^{T} \end{bmatrix} \\
& = \lambda_{1}\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}^{T} + \lambda_{2}\mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}^{T} + \cdots + \lambda_{n}\mathbf{u}_{n}\mathbf{u}_{n}^{T}
\end{aligned}
\end{equation}
위 식에서 각 항 $\lambda_{i}\mathbf{u}_{j}\mathbf{u}_{j}^{T}$은 $\mathbf{u}_{j}$에 의해 Span된 부분공간에 프로젝션된 다음 고유값 $\lambda_{i}$만큼 스케일된 벡터로 볼 수 있다.
 

Symmetric Positive Definite Matrices

행렬 $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{n\times n}$이 대칭이면서 Positive Definite인 경우 Spectral Decomposition의 모든 고유값은 항상 양수가 된다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{S} & = \mathbf{UDU}^{-1} = \mathbf{UDU}^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1}^{T} \\ \mathbf{u}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{u}_{n}^{T} \end{bmatrix} \\
& = \lambda_{1}\mathbf{u}_{1}\mathbf{u}_{1}^{T} + \lambda_{2}\mathbf{u}_{2}\mathbf{u}_{2}^{T} + \cdots + \lambda_{n}\mathbf{u}_{n}\mathbf{u}_{n}^{T} \\
& \text{where, } \lambda_{j} > 0, \forall j = 1,\cdots,n
\end{aligned}
\end{equation}

Back to Computing SVD

행렬 $\mathbf{A}$에 대하여 $\mathbf{AA}^{T} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{A} = \mathbf{S}$인 대칭행렬이 존재할 때 $\mathbf{S}$가 Positive (Semi-)Definite한 경우
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{x}^{T}\mathbf{AA}^{T}\mathbf{x} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{x})^{T}(\mathbf{A}^{T}\mathbf{x}) = \| \mathbf{A}^{T}\mathbf{x} \| \ge 0 \\
& \mathbf{x}^{T}\mathbf{A}^{T}\mathbf{Ax} = (\mathbf{Ax})^{T}(\mathbf{Ax}) = \| \mathbf{Ax} \|^{2} \ge 0
\end{aligned}
\end{equation}
즉, $\mathbf{AA}^{T} = \mathbf{U}\Sigma^{2}\mathbf{U}^{T}$와 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A} = \mathbf{V}\Sigma^{2}\mathbf{V}^{T}$에서 $\Sigma^{2}$의 값은 항상 양수가 된다.
임의의 직각 행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$에 대하여 특이값 분해는 언제나 존재한다. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 행렬의 경우 고유값 분해가 존재하지 않을 수 있지만 특이값 분해는 항상 존재한다. 대칭이면서 동시에 Positive Definite인 정방 행렬 $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{n\times n}$은 항상 고유값 분해값이 존재하며 이는 특이값 분해와 동일하다.

Eigendecomposition in Machine Learning

일반적으로 기계학습에서는 대칭이고 Positive Definite인 행렬을 다룬다. 예를 들면, $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{10 \times 3}$인 행렬이 있고 각 열은 사람을 의미하고 각 행은 Feature를 의미한다고 가정했을 때, $\mathbf{A}^{T}\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{3\times 3}$는 각 사람들 간 유사도 를 의미하고 $\mathbf{AA}^{T} \in \mathbb{R}^{10\times 10}$는 각 Feature들의 상관관계를 의미한다. 이 때, $\mathbf{AA}^{T}$는 주성분분석(Principal Component Analysis)에서 Covariance Matrix를 구할 때 사용된다.

Low Rank Approximation of a Matrix

행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$이 주어졌을 때 예를 들어, $\mathbf{A}$의 원래 rank가 r일 때, 행렬 $\mathbf{A}$에서 rank를 r 이하를 가진 근사행렬 $\hat{\mathbf{A}}$을 찾는 Low Rank Approximation을 수행할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \hat{\mathbf{A}}_{r} = \arg\min_{\hat{\mathbf{A}}_{r}} \| \mathbf{A} - \mathbf{A}_{r} \|_{F}, \ \ \text{subject to rank} \mathbf{A}_{r} \le r \\
& \hat{\mathbf{A}}_{r} = \sum^{r}_{i=1}\sigma_{i}\mathbf{u}_{i}\mathbf{v}_{i}^{T} \quad \text{where, } \sigma_{1} \ge \sigma_{2} \ge \cdots \ge \sigma_{r}
\end{aligned}
\end{equation}

Dimension Reducing Transformation

Feature-by-data item 행렬 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}$이 주어졌을 때 $\mathbf{G} \in \mathbb{R}^{m\times r}, r < m$인 변환 $\mathbf{G}^{T}: \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m} \mapsto \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{r}$을 생각해보면
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{y}_{i} = \mathbf{G}^{T}\mathbf{a}_{i}
\end{aligned}
\end{equation}
가 성립하고 $\mathbf{G}$ 의 각 열들은 정규직교벡터이며 데이터의 유사도 행렬 $\mathbf{S} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}$의 유사도를 보존하는 변환 $\mathbf{G}$를 차원 축소 변환(Dimension-Reducing Transformation) 이라고 한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{Y} = \mathbf{G}^{T}\mathbf{A} \\
& \mathbf{Y}^{T}\mathbf{Y} = (\mathbf{G}^{T}\mathbf{A})^{T}\mathbf{G}^{T}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{GG}^{T}\mathbf{A}
\end{aligned}
\end{equation}
이 때 차원축소변환 $\hat{\mathbf{G}}$ 은 다음과 같이 추정할 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{G}} = \arg\min_{\mathbf{G}} \| S - \mathbf{A}^{T}\mathbf{GG}^{T}\mathbf{A} \|_{F} \ \ \text{subject to } \mathbf{G}^{T}\mathbf{G} = \mathbf{I}_{k}
\end{aligned}
\end{equation}
주어진 행렬 $\mathbf{A} = \mathbf{U}\Sigma \mathbf{V}^{T} = \sum^{n}_{i=1}\sigma_{i}\mathbf{u}_{i}\mathbf{v}_{i}^{T}$에 대하여 최적의 해는 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{G}} = \mathbf{U}_{r} = \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{r} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
 

Chapter 5 - Derivative of multi-variable function

Gradient

임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대하여 $f(\mathbf{x}) \in \mathbb{R}$를 만족하는 다변수 스칼라 함수 $f(\mathbf{x})$가 주어졌다고 하자. 
\begin{equation}
\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}
\end{aligned}
\end{equation} 

$f(\mathbf{x})$에 대한 1차 편미분은 벡터가 되고 이는 그레디언트(gradient)라고 불린다.
\begin{equation}
    \boxed{ \begin{aligned}
        \nabla \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
            \frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}}
        \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{1 \times n}
    \end{aligned} } 
\end{equation}

Jacobian matrix

임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대하여 $f(\mathbf{x}) \in \mathbb{R}^{m}$를 만족하는 다변수 벡터 함수 $f(\mathbf{x})$가 주어졌다고 하자. 
\begin{equation}
\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}
\end{aligned}
\end{equation} 

이 때, $f(\cdot)$의 1차 편미분은 행렬이 되고 이를 특별히 자코비안(jacobian) 행렬이라고 한다.
\begin{equation}
\boxed{ \begin{aligned}
\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}
\end{aligned} }
\end{equation} 

이를 통해 자코비안 행렬의 각 행벡터(row vector)는 함수 $f_m(\cdot)$에 대한 그레디언트라는 것을 알 수 있다.
. 위 식을 미소변화량 $\mathbf{h}$를 사용하여 나타내면 다음과 같다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{J} = \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \triangleq \lim_{\mathbf{h \rightarrow 0}} \frac{f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}) }{\mathbf{h}} \in \mathbb{R}^{m \times n}
\end{aligned}
\end{equation} 

 

SLAM에서 자코비안은 에러 $\mathbf{e}(\mathbf{x})$를 최적화할 때 사용된다. SLAM에서 최적화하고자 하는 에러는 일반적으로 비선형 함수로 구성되어 있으며 크기가 작기 때문에 에러의 변화량 $\mathbf{e}(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x})$를 그대로 사용하지 않고 테일러 전개하여 근사식 $\mathbf{e}(\mathbf{x}) + \mathbf{J} \Delta \mathbf{x}$으로 표현하게 되는데 이 때 에러에 대한 자코비안 $\mathbf{J}$가 유도된다. 그리고 근사식을 바탕으로 유도한 에러의 최적 증분량 $\Delta \mathbf{x}^{*} = (\mathbf{J}^{\intercal}\mathbf{J})^{-1}\mathbf{J}^{\intercal}\mathbf{b}$이 자코비안을 통해 구해지기 때문에 SLAM에서는 자코비안이 필수적으로 사용된다. 자세한 내용은 https://alida.tistory.com/65#sec2  포스트를 참조하면 된다.

 

Toy example 1

만약 $\mathbf{x}=\{a,b,c\}$일 때 $f(\mathbf{x}) = f(a,b,c)$를 각각의 변수 a,b,c에 대해 편미분하면 다음과 같다.

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{J} = \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \mathbf{J}_{a} & \mathbf{J}_{b} & \mathbf{J}_{c} \end{bmatrix} \\
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{J}_{a} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a} \\
& \mathbf{J}_{b} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial b} \\
& \mathbf{J}_{c} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial c} \\
\end{aligned}
\end{equation}

 

만약 $a=a_0$로 계산값(=operating point)이 정해진 경우 자코비안은 다음과 같다.

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \mathbf{J}_{a} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a} \bigg|_{a=a_{0}} \\
& \mathbf{J}_{b} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial b} \bigg|_{a=a_{0}, b=b_{0}} \\
& \mathbf{J}_{c} = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial c} \bigg|_{a=a_{0}, c=c_{0}} \\
\end{aligned}
\end{equation}

 

위 첫번째 식은 $f(a,b,c)$를 $a$에 대해 편미분한 후 $a=a_0$를 넣어 값을 계산하라는 의미이고 두번째와 세번째 식은 $a=a_0$로 값을 고정한 상태에서 각각 $b=b_{0},c=c_{0}$에 대한 편미분을 수행하라는 의미이다.

Toy example 2
예를 들어 다음과 같은 3개의 연립 방정식이 주어졌다고 하자. 
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        f(\mathbf{x}) = \begin{cases}  f_{1}(\mathbf{x}) = ax^2 + 2bx + cy \\ f_{2}(\mathbf{x}) = dx^3 + ex \\ f_{3}(\mathbf{x}) =  fx + gy^2 + hy \end{cases}
    \end{aligned}
\end{equation}

$\mathbf{x} = (x,y)$를 의미한다. 위 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R}^{3}
\end{aligned}
\end{equation} 

자코비안의 정의에 따라 이를 아래와 같이 쓸 수 있다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{J} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}} \\  \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}} \\  \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  2ax + 2b & c \\ 3dx^2 + e & 0 \\ f & 2gy+h  \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3\times 2}
\end{aligned}
\end{equation} 

Hessian matrix

임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대하여 $f(\mathbf{x}) \in \mathbb{R}$를 만족하는 다변수 스칼라 함수 $f(\mathbf{x})$가 주어졌다고 하자. 
\begin{equation}
\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}
\end{aligned}
\end{equation} 

이 때, $f(\cdot)$의 2차 편미분은 행렬이 되고 이를 특별히 헤시안(hessian) 행렬이라고 한다. 헤시안 행렬은 일반적으로 대칭행렬의 형태를 띄고 있으며 다변수 벡터 함수가 아닌 다변수 스칼라 함수에 대한 2차 미분임에 유의한다. 
\begin{equation}
\boxed{ \begin{aligned}
\mathbf{H} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times n}
\end{aligned} }
\end{equation} 

Laplacian

임의의 벡터 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대하여 $f(\mathbf{x}) \in \mathbb{R}$를 만족하는 다변수 스칼라 함수 $f(\mathbf{x})$가 주어졌다고 하자. 
\begin{equation}
\begin{aligned}
f : \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}
\end{aligned}
\end{equation} 

$f(\mathbf{x})$에 대한 라플라시안(laplacian)은 각 입력 벡터에 따른 2차 편미분의 합으로 정의된다.
\begin{equation}
    \boxed{ \begin{aligned}
        \nabla^{2} \mathbf{f} = 
            \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} +  \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} + \cdots + \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^{2}}
         \in \mathbb{R}^{1 \times n}
    \end{aligned} } 
\end{equation}

Taylor expansion

테일러 전개(expansion)은 미지의 함수 $f(x)$를 $x=a$ 지점에서 근사 다항함수로 표현하는 방법을 말한다. 이는 테일러 급수(series) 또는 테일러 근사(approximation)이라고도 불린다. $f(\cdot)$을 $x=a$ 부근에서 테일러 전개를 수행하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{equation}
     \begin{aligned}
       \left. f(x) \right|_{x=a} = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + \frac{1}{3!} f'''(a)(x-a)^3 + \cdots 
    \end{aligned} 
\end{equation}

함수 $f(\cdot)$가 다변수 스칼라 함수일 경우 $\mathbf{x}=\mathbf{a}$ 지점에서 테일러 전개는 다음과 같이 쓸 수 있다. 
\begin{equation}
    \begin{aligned}
       \left. f(\mathbf{x}) \right|_{\mathbf{x}=\mathbf{a}} = f(\mathbf{a}) + \nabla \mathbf{f} (\mathbf{x}-\mathbf{a}) + \frac{1}{2!}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\intercal}\mathbf{H}(\mathbf{x}-\mathbf{a}) +  \cdots 
    \end{aligned}
\end{equation}

이 때, $\nabla \mathbf{f}$는 함수 $f(\cdot)$의 그레디언트(gradient) 의미하며 $\mathbf{H}$는 헤시안(hessian) 행렬을 의마한다.
 

References

[1] (Lecture) 인공지능을 위한 선형대수 - 주재걸 교수님 (edwith)

[2] (Book) Kay, Steven M. Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory. Prentice-Hall, Inc., 1993.
[3] (Blog) 다크프로그래머 - Gradient, Jacobian 행렬, Hessian 행렬, Laplacian
[4] (Blog) [행렬대수학] 행렬식(Determinant) 1 - 행렬식의 개념

[6] (Pdf) Pseudo Inverse 유도 과정
[7] (Youtube) Matrix Inversion Lemma 강의 영상 - 혁펜하임