오일러 각도 (Euler Angle) 개념 정리

내용을 보강하여 3D Rigid Body Transformation 개념 정리 포스트에 업로드하였습니다.

1 Introduction

해당 포스트에서는 오일러 각도 (Euler Angle) 표현법에 대해 다룬다. 오일러 각은 3차원 물체의 방향(orientation)을 3개의 서로 수직인 X,Y,Z축 각도로 표현하는 방법 중 하나이다.

2 Euler Angle vs Fixed Angle

3개의 각도로 물체의 방향을 표현할 때 크게 고정 각도(fixed angle)표현법과 오일러 각도(euler angle) 표현법이 있는데 오일러 각도는 회전한 축을 기준으로 다음 회전을 한다는 점 이 고정 각도 표현법과 다르다. 아래 그림과 같이 $Z,Y$ 축을 순차적으로 돌리는 경우를 생각해보자. 오일러 각도는 회전한 축을 기준으로 다음 회전이 적용된다.

 

3 Euler Angle Representation

예를 들어, 오일러 각도가 $x,y,z$ 축 순서로 $(\gamma, \beta, \alpha)$ 라고 하면 이는 우선 $x$ 축으로 $\gamma$  만큼 회전한 다음, 회전한 축 $(x^{'},y^{'},z^{'})$ 의 $y^{'}$ 축을 기준으로 $\beta$  만큼 회전한다. 그리고 마지막으로 회전한 축 $(x^{''},y^{''},z^{''})$ 의 $z^{''}$ 축을 기준으로 $\alpha$  만큼 회전한다. 오일러 각도는 회전 순서에 따라 XYZ,ZXY,ZXZ,XYX,YXY,YZY,ZYZ,ZXZ,XZY,YXZ,YZX,ZYX와 같이 12개의 서로 다른 표현법이 존재하며 ZYX의 경우 아래 그림과 같다.

 

이 때, 오일러 각도는 다음과 모든 회전을 같이 하나로 합쳐서 표현한다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
  R_{ZYX} \left(\alpha,\beta,\gamma\right) & =\text{Rot}\left(\hat{z},\alpha\right) \text{Rot}\left(\hat{y},\beta\right)\text{Rot}\left(\hat{x},\gamma\right) = R_{Z}\left(\alpha\right)R_{Y}\left(\beta\right)R_{X}\left(\gamma\right) \\
  & = \begin{bmatrix}
  c_{\alpha}c_{\beta} & c_{\alpha}s_{\beta}s_{\gamma}-s_{\alpha}c_{\gamma}  & c_{\alpha}s_{\beta}c_{\gamma}+s_{\alpha}s_{\gamma} \\ s_{\alpha}c_{\beta} & s_{\alpha}s_{\beta}s_{\gamma}+c_{\alpha}c_{\gamma} & s_{\alpha}s_{\beta}c_{\gamma}-c_{\alpha}s_{\gamma}\\ -s_{\beta} & c_{\beta}s_{\gamma}  & c_{\beta}c_{\gamma} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}

 

4 Conversion to Rotation Matrix

모든 오일러 각도는 회전행렬로 변환이 가능하다. 아래 그림과 같이 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 축을 기준으로 frame을 각각 $\gamma, \beta, \alpha$ 만큼 회전시킬 때 회전행렬은 다음과 같다.

\begin{equation}
\begin{aligned}
  R_{x}\left(\gamma\right) =  \text{Rot}\left(\hat{x},\gamma \right) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\gamma } & -\sin{\gamma } \\ 0 & \sin{\gamma } & \cos{\gamma } \end{array}\right]
\end{aligned}
\end{equation}



  
\begin{equation}
\begin{aligned}
  R_{y}\left(\beta\right) =  \text{Rot}\left(\hat{y},\beta\right) = \left[\begin{array}{ccc} \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta}   \\ 0 &1 & 0   \\ -\sin{\beta} & 0 &  \cos{\beta} \end{array}\right]
\end{aligned}
\end{equation}


  
\begin{equation}
\begin{aligned}
      R_{z}\left(\alpha\right) = \text{Rot}\left(\hat{z},\alpha\right) = \left[\begin{array}{ccc} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} & 0 \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
\end{aligned}
\end{equation}

5 The Limitation of Euler Angle

오일러 각도는 3차원 상의 물체의 방향(orientation)을 3개의 파라미터만으로 간결하게 표현할 수 있다는 점과 대략적인 방향에 대한 직관적인 정보를 준다는 점에서 좋지만 다음과 같은 한계점들을 가지고 있다.

5.1 Gimbal Lock

오일러 각도 표현 법은 짐벌락이라는 치명적인 문제점을 가지고 있다. 오일러 각도로 물체를 표현할 때 같은 방향으로 두 회전 축이 겹치는 경우 해당 2개의 축이 더이상 분리되지 않는 고정 상태 가 되는데 이를 짐벌락이라고 한다. 따라서 3개의 자유도 중 1개의 자유도를 잃어버리게 되므로 다양한 방향 표현이 불가능해진다. 짐벌락 유튜브

5.2 Interpolation

오릴러 각도 표현법은 고정 각도 표현법과 다르게 3축에 대해 회전이 종속적이므로 2개의 오일러 각도 사이를 보간(interpolation)할 때에도 문제 가 발생한다. 이는 컴퓨터로 구현할 때 문제가 된다. 따라서 물체의 방향(orientation)을 표현할 때는 오일러 각도를 종종 사용하지만 물체의 회전(rotation)을 표현할 때는 오일러 각도를 거의 사용하지 않는다.

예를 들어 $R_{ZYX}(0,180,0) = R_{ZYX}(180,0,180)$ 은 같은 물체의 방향(orientation)을 표현한다. 이 때 $(0,0,0) \rightarrow (0,180,0)$ 으로 보간하는 경우 중간값은 $(0,90,0)$ 이지만 $(0,0,0) \rightarrow (180,0,180)$ 으로 보간하는 경우 중간값은 $(90,0,90)$ 이 되어 서로 완전 다른 방향으로 회전하게 된다.